(A példában eltekintünk attól, hogy részegünk idővel majdcsak kijózanodik. ) De a nagy számok törvényéből következik, hogy még így is biztosan hazajut előbb-utóbb. Ez nemcsak akkor érvényes, ha emberünk végig csakis egy egyenes mentén tántorog jobbra-balra. Ha keresztutcák is vannak, és azokon is elfordulhat, azaz a tántorgását nemcsak egy, hanem két dimenzióban végzi, akkor is hazajut előbb-utóbb, akármilyen messzire lakik. Ha viszont már emeletek is vannak, azaz a séta három dimenzióban történik, akkor távolról sem biztos, hogy részegünk valaha is hazaér. Erre az esetre már a nagy számok törvényei közül egy másik bizonyul érvényesnek. Abból pedig éppen az derül ki, hogy még ha részegünk történetesen a szomszéd ház első emeletén lakik is, akkor is 1/3 fölött van a valószínűsége annak, hogy sohasem ér haza. Ez esetben bolyonghat, amíg csak világ a világ és még két napig. A nagy számok törvényei tisztán matematikai tételek, némelyikük nagyon is bonyolult. Ezzel együtt a nagy számok törvényei megerősítik azt az intuitív világképet, hogy aki sokáig játszik, az előbb-utóbb nyer - bár nagy valószínűséggel kevesebbet, mint amennyit addig elvesztett.
Nagy sz�mok t�rv�nyei, 2008. 05. 17. (03. 14) Nagy sz�mok t�rv�nyei Az al�bbi egyenl�tlens�gek �ltal�nos k�zel�t�seket adnak b�rmely val�sz�n�s�gi v�ltoz� �rt�keinek eloszl�s�r�l. "Term�szetesen" a k�zel�t�sek pontoss�g�t a m�r�sek sz�m�nak n�vel�s�vel jav�thatjuk. 1. Markov-egyenl�tlens�g T�tel: Ha a val�sz�n�s�gi v�ltoz�nak l�tezik M( ) v�rhat� �rt�ke, akkor a R + eset�n. Magyar�zat: A t�tel szerint a m�r�s eredm�nye ( ) egyre nagyobb �rt�ket egyre kisebb val�sz�n�s�ggel vesz fel. Pontosabban: b�rmilyen nagy lehet ( a), de ennek az esem�nynek a val�sz�n�s�ge legfeljebb M/ a, amely korl�t a →∞ eset�n 0 -hoz tart. 2. Csebisev-egyenl�tlens�g v�rhat� �rt�ke �s D( ) sz�r�sa, akkor k R + eset�n, vagy m�sk�nt, ill. az esem�ny tagad�sa:. Azt v�rjuk, hogy a m�r�s ( ) �rt�kei az �tlag ( M=M( )) k�r�l ingadoznak, ezt igazolja a Csebisev-egyenl�tlens�g: a m�r�s �s az �tlag elt�r�se (vagyis | -M|) lehet ugyan nagy, vagyis lehets�ges, hogy | -M| ≥ ε, de ennek a val�sz�n�s�ge legfeljebb D 2 /ε 2.
A nagy számok erős törvénye teljesül például akkor, ha a valószínűségi változók függetlenek, és egyforma eloszlásúak. N. Etemadi feltételei szerint elég, ha egyforma eloszlásúak, és páronként függetlenek; a szórás végessége nem kell. Egy harmadik elégséges feltétel szerint a változók páronként korrelálatlanok, és szórásuk véges. Az erős törvényből következik a gyenge törvény. Az ergodikus tételek általánosítják a nagy számok törvényét stacionárius sztochasztikus folyamatokra. Az egyik az individuális ergodikus tétel, a másik az L p -ergodikus tétel, ezek még páronkénti függetlenséget sem tételeznek fel. Értelmezése [ szerkesztés] Az analízisben tanulmányozott klasszikus sorozatoktól eltérően nem lehet abszolút jellemezni egy sorozat konvergenciáját. Ennek az az alapja, hogy például kockadobáskor nem zárhatók ki olyan sorozatok, ahol eredményként például 6, 6, 6, … adódik. Egy ilyen sorozatban azonban a tapasztalati számtani közepek nem konvergálnak a 3, 5 várható értékhez. A nagy számok törvénye nem is állít abszolút konvergenciát, hanem csak azt, hogy az ilyen sorozatok valószínűsége nulla, vagyis majdnem lehetetlenek.
Tehát a majdnem biztos konvergencia - egy nulla valószínűségű halmaz kivételével - pontonkénti konvergenciát jelent. Ezen konvergencia más elnevezése 1 valószínűséggel való, ill. (mértékelméleti nyelven) majdnem mindenütti konvergencia. 7. ábra - Sztochasztikus konvergencia a 3. 23. példában 3. Példa. Olyan sorozatot konstruálunk, mely sztochasztikusan konvergál, majdnem biztosan azonban nem. Legyen a intervallum a Borel-halmazokkal és a Lebesgue-mértékkel ellátva. Legyen, ;, ha és 0 egyébként;, ha, és 0 egyébként;, ha és 0 egyébként,,, ha és 0 egyébként, Mivel azon intervallum hossza, ahol, 0-hoz tart, így sztochasztikusan. Viszont az az intervallum, ahol,,, végtelen sokszor visszatér" bármely pont fölé, így a sorozatban végtelen sok 0, és végtelen sok 1 van. Ezért nem konvergens,. A sorozat 4 tagja a 3. ábrán látható. Megjegyezzük, hogy a majdnem biztos konvergenciából viszont következik a sztochasztikus konvergencia. Ezek alapján az erős törvények ténylegesen erősebb konvergenciát mondanak ki, mint a gyengék.
Tegyük fel, hogy. Jelölje a közös várható értéket. A Csebisev-egyenlőtlenség alapján -ra ha. (A számolás során kihasználtuk, hogy páronként független összeadandók esetén a szórásnégyzet additív. ) A nagy számok gyenge törvényének jelentése a következő. úgy tekinthető, mint egy valószínűségi változóra vonatkozó független megfigyeléssorozat (hisz -k azonos eloszlásúak). Így a megfigyelések átlaga, míg az várható érték az elméleti átlag. Tehát a megfigyelések átlaga konvergál az elméleti átlaghoz. A törvény,, gyenge" jelzője azt jelenti, hogy a konvergencia,, csak" sztochasztikus, azaz,, nagy esetén kicsi a valószínűsége, hogy nagyon eltérjen -től". Megjegyezzük, hogy Hincsin bebizonyította, hogy a tétel érvényben marad akkor is, ha helyett csupán a feltételt követeljük meg. 4. A nagy számok erős törvényei Az erős törvények ún. majdnem biztos (más szóval majdnem mindenütti, ill. 1 valószínűséggel való) konvergenciát mondanak ki. 43. Azt mondjuk, hogy az valószínűségi változó sorozat majdnem biztosan konvergál az valószínűségi változóhoz, ha, ha, ahol.
Legyen korlátos valószínűségi változó:. Igazoljuk, hogy (Ez a Csebisev-egyenlőtlenség megfordítása. ) Legyen binomiális eloszlású és paraméterrel. Adjunk alsó becslést a valószínűségre a Csebisev-egyenlőtlenség felhasználásával. Legyenek független, standard normális eloszlásúak. Adjuk meg eloszlását. A Csebisev-egyenlőtlenség felhasználásával adjunk felső becslést a valószínűségre. Számítsuk ki az értékét a 3. példában megadott módszerrel. Ellenőrző kérdések Mit mond ki a Markov- és a Csebisev-egyenlőtlenség? Mi a különbség a nagy számok erős és gyenge törvényei között? Mit állít a nagy számok Kolmogorov-féle erős törvénye? Mit állít a nagy számok törvénye a relatív gyakoriságokról?